向量夹角的计算

计算向量的夹角¶

要计算两个向量的夹角，可以使用向量的点积公式。假设有两个向量 $a$ 和 $b$ ，它们的夹角为 $θ$ ，那么它们的点积可以表示为：

a \cdot b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ \cos θ

其中， $‖ a ‖$ 和 $‖ b ‖$ 分别是向量 $a$ 和 $b$ 的模长， $\cos θ$ 是夹角 $θ$ 的余弦值。

通过这个公式，我们可以解出 $\cos θ$ ：

\cos θ = \frac{a \cdot b}{‖ a ‖ ‖ b ‖}

然后，我们可以通过反余弦函数（arccos）来求出 $θ$ ：

θ = \arccos (\frac{a \cdot b}{‖ a ‖ ‖ b ‖})

下面，我们通过一个例子来说明如何计算两个向量的夹角。

例子¶

假设我们有两个向量 $a = (3, 4)$ 和 $b = (1, 2)$ ，我们想要计算它们的夹角。

步骤如下：

计算向量 $a$ 和 $b$ 的点积：

a \cdot b = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11

计算向量 $a$ 和 $b$ 的模长：

‖ a ‖ = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

‖ b ‖ = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}

计算 $\cos θ$ ：

\cos θ = \frac{a \cdot b}{‖ a ‖ ‖ b ‖} = \frac{11}{5 \sqrt{5}} = \frac{11}{5 \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{11 \sqrt{5}}{25}

计算 $θ$ ：

θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})

所以，两个向量 $a$ 和 $b$ 的夹角为 $\arccos (\frac{11 \sqrt{5}}{25})$ 。

Note

在计算两个向量的夹角时，使用点积公式和反余弦函数（Math.Acos）得到的夹角范围通常是 0 到 π 弧度，即 0 到 180 度。这是因为反余弦函数的定义域是 $[- 1, 1]$ ，而其值域是 $[0, π]$ 。

夹角范围解释¶

1.夹角范围：

0 度：两个向量方向完全相同。
90 度：两个向量正交（垂直）。
180 度：两个向量方向完全相反。

2.为什么夹角范围是 0 到 180 度？

从几何角度理解，两个向量之间的夹角总是取最小的夹角。因此，即使两个向量方向相反，夹角也不会超过 180 度。
从数学公式来看，点积公式 $a \cdot b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ \cos θ$ 中， $\cos θ$ 的值在 $[- 1, 1]$ 之间，而 $\arccos$ 函数的输出范围是 $[0, π]$ （即 0 到 180 度）。

改进计算结果，返回夹角范围0 到 360 度¶

如果你需要计算两个向量之间的夹角范围为 0 到 360 度，可以通过以下方法实现：

计算 0 到 180 度的夹角：使用点积公式计算夹角 $θ$ 。
判断夹角方向：使用向量的叉积（在二维中可以简化为标量）来判断夹角的方向。如果叉积为正，则夹角为顺时针方向；如果叉积为负，则夹角为逆时针方向。
调整夹角范围：如果夹角方向为逆时针方向，则夹角为 $360^{\circ} - θ$ 。

C#代码实现¶

以下是修改后的代码，计算夹角范围为 0 到 360 度：

using System;

public class Vector2d
{
    public double X { get; set; }
    public double Y { get; set; }

    public Vector2d(double x, double y)
    {
        X = x;
        Y = y;
    }
}

public class VectorMath
{
    // 方法：计算两个 Vector2d 向量的夹角（单位：度，范围：0 到 360）
    public static double CalculateAngle(Vector2d vectorA, Vector2d vectorB)
    {
        // 计算点积
        double dotProduct = vectorA.X * vectorB.X + vectorA.Y * vectorB.Y;

        // 计算向量的模长
        double magnitudeA = Math.Sqrt(vectorA.X * vectorA.X + vectorA.Y * vectorA.Y);
        double magnitudeB = Math.Sqrt(vectorB.X * vectorB.X + vectorB.Y * vectorB.Y);

        // 计算夹角的余弦值
        double cosTheta = dotProduct / (magnitudeA * magnitudeB);

        // 防止浮点数误差导致的超出范围问题
        cosTheta = Math.Max(-1, Math.Min(1, cosTheta));

        // 计算夹角（单位：弧度）
        double angleInRadians = Math.Acos(cosTheta);

        // 将弧度转换为度
        double angleInDegrees = angleInRadians * (180.0 / Math.PI);

        // 判断夹角方向（使用叉积）
        double crossProduct = vectorA.X * vectorB.Y - vectorA.Y * vectorB.X;

        // 如果叉积为负，则夹角为逆时针方向
        if (crossProduct < 0)
        {
            angleInDegrees = 360 - angleInDegrees;
        }

        return angleInDegrees;
    }
}

public class Program
{
    public static void Main()
    {
        // 创建两个 Vector2d 对象
        Vector2d vectorA = new Vector2d(3, 4);
        Vector2d vectorB = new Vector2d(-1, -2);

        // 计算夹角
        double angle = VectorMath.CalculateAngle(vectorA, vectorB);

        // 输出结果
        Console.WriteLine($"两个向量的夹角为：{angle} 度");
    }
}

输出示例¶

对于向量 $a = (3, 4)$ 和 $b = (- 1, - 2)$ ：

如果使用 0 到 180 度的范围，夹角为 180 度。
如果使用 0 到 360 度的范围，夹角为 180 度（因为它们方向相反）。

对于向量 $a = (3, 4)$ 和 $b = (4, - 3)$ ：

如果使用 0 到 180 度的范围，夹角为 90 度。
如果使用 0 到 360 度的范围，夹角为 270 度（因为 $b$ 在 $a$ 的顺时针方向）。

通过这种方式，你可以根据需要选择夹角的范围。